ډېرۍ پوهنه

دویم. ډيرۍ پوهنه Die Mengenlehre, the set theory

ګرانو د شمیرپوهنې مینه والو!
اجازه دې وي، چې په سر کې دا سې لږ تیر درس سم اند ته هم داسې لږ ځغلند پام راوګرځوو:
سم اند د وینا سره سر او کار لري.
که ووایو:
لمړی: ۳+۴= ؟
دویم: نن په کابل کې د هوا حالات.
دریم: اولمیر درباندې ګران دۍ؟
څلورم: نن په کابل کې اسمان شین دۍ.
پنځم: ۳+۴ = ۹
شپږم: ۲+۶=۸
وینا ته راځو: وینا هغه ده، چې یو ارزښت ولري. دا ارزښت یې دا دۍ، چې رښتیا یا نارښتیا وي، دې ته ،،رښتیا ارزښت،، رښتیا یا نارښتیا وایې.
پورته بیلګو کې ګورو، چې لمړی، دویم او دریم نه رښتیا او نه نا رښتیا کیدی شي یعنې رښتیا ارزښت رښتیا یا نارښتیا نه لري، نو له دې امله وینا نه دي.

په پورته کې څلورم او ښپږم رښتیا او پنځم نارښتیا دۍ، ‎نو له دې له دې امله چې رښتیاارزښت لري یعنې رښتیا یا نارښتیا دي، نو وینا دي.

اوس راځو خپل نوی درس ته:

ډيري پوهنې (سټ تیوري)په پرمختللو هيوادونو کې هم د شلمې پیړئ په دویه نیمه کې د ميندو او پلرونو لپاره ستونځې پيدا کړي، ځکه، چې دوي د ډيرئ پوهنې سره بلد نه وو او د خپلو کوچنيانو سره يې مرسته نه شوه کولى۰
د ډيرۍ کلمه له عدددونو یا ګڼونو پخوانۍ ده، که څه هم پخوا انسانانو په خپله خوښه نه ښووله لکه اوس۰
په تراوس ورسره بلد ډول هم سټ یا ډېرئ پيژندل کيږي، لکه د هسکې مینې ښوونځى نجونې او هلکان، يا په دې ښوونځي د اتم ټولګى ميزونه او چوکى، يا لکه هغه نيزوړي، چې پرون نيز راوړي او د سپين په پټي کې يې ډيرۍ ډيرۍ اچولي يا د هسکې مینې د ښوونځي په لسم ټولګى کې د زده کوونکو، کتابونو، کتابچو پنسلونو، څوکيو او ميزونو سټ یا ډيرۍ۰

ډيرئ پوهنه د شميرپوهنې سټه جوړوي او د شميرپوهنې ټولې څانګې په ډيرۍ پوهنه
ودانې دي۰ نن شميرپوهنه بې له ډيرۍ پوهنې داسې وده نه شي کولى او سټه يې وزي۰

پيژند
د الماني شميرپوه کانتور(George Cantor 1845 – 1918 ( پيژند:
زموږ د خيال او ليد څرګند ټاکلو ، ټيک يو له بل توپيرکيدونکو شيانو ټولګې
( يوځايټولولو يا مجموعې. زما په اند به یې ښه نومونه ټولوالی وي ) ته ډيرۍ وايي
او هر شي ته، چې ډيرۍ يې جوړه کړې يا ډيرۍ ترې جوړه شوې وي، د ډيرۍ – یا
سټ توکى وايى (Set and elements of set ډيرۍ او د ډيرۍ توکى).

بيلګه :
ګڼونه یا عددونه، نومونه، او توري کيدى شي د ډيريو بيلګو په توګه راوړل شي۰
ګورو، چې د ډيرۍ یا سټ کلمه په شميرپوهنه کې بل ډول ده لکه په ولسي ژبه کې، چې دلته ډيرۍ د ځنو شيانو زيات يوځاي کول موخه ده، د ځانګړو شرايطو لاندې.
په شميرپوهنه کې ډيرۍ په لويو لاتين تورو ليکل کيږي لکه A,B,.. او يا M,N, X,Y,…. د ډيريو توکي د لاتين په کوچنيو تورو ليکل کيږي، لکه a,b,c,… اوm,n,x,v,…

د دې لپاره، چې وپوهيږو، چې ايا توکى a د ډيرۍ A توکى دۍ که نه نو ليکو: a€A
په پورته کې توکى a د ډيرۍ A توکى دۍ.
که a د A توکی نه وي ، نو لیکو:a€|A دلته a د ډيرۍ A توکى نه دۍ

دا پورته لينکدود له ښى وکيڼ لور ته هم ليکلى شو، چې پرلپسى لړۍ يې ساتلې پاتې شي۰ زه يې په څټ ليکنو سره ليکنيزې ستونځى لرم۰

د ډېرۍ یا سټ انځورونه

ډېرۍ یا سټ په لاندې درې ډوله انځوریږي:
لومړی: په شمیرنیزه ډول د ډېرئ یا سټ لیکندود: A = {a,b,c,d}

لوستل: A ډېرۍ ده له توکو a,b,c,d څخه.

a€A ویل: a د A توکی دی.
a€|A ویل : b د Aتوکی نه دی.
B={a,b,c,a,d}ډېرئ یا سټ نه ده، ځکه چې توکی a په دې کې دوه ځله یا دوه واره راغلی دی.
ټیک (صحیح)دی: B={a,b,c,d}
دویم: د ډېرۍ لیکندود په تشریحي ډول:
{ xټول (تام)عدد دی او B={x| -3<x<1

ویل: B د ټولو توکو x ډېرۍ یا سټ ده ;د کومو لپاه چې باور لري: x له -3 لوی یا برابر اوله ۱ کوچنی یا د ۱ سره برابردی او x یو ټولګڼ (تام عدد) دی.
دریم: په ډېرۍ دیاګرام کې
د ډېرۍ یا سټ انځورونه دلته -۳ ، -۲ ، -۱، ۰ ، ۱ په یوه کږه یا کرښوکې راګیر دي.
کیدی شي ګران لوستونکي په خوښه څیره کې دا پورته ګڼونه رابند کړي

بیلګه:
د 9 او25 په منځ کې د جوړه طبیعي اعدادو سټ یا ډېرۍ M د ې په شمیرنیزه او تشریحي بڼه او همداسې په ډېرۍ یا په سټ(ډېرۍ-) دیاګرام ورکړ شي.
په شمیرنیزه بڼه: M={10,12,14,16,18, 20,22,24,}
په تشریحي بڼه: n }د طبیعي اعدادو سټ M= {x|9<x<25, x=2n
یا
M = {x| 9 < x < 25 /\ x=2n ; n€N}
پورته /\ داو نخښونه ده.
لوستل: M د ټول x سټ دۍ، داسې چې x له ۹ لو او له ۲۵ کوچنی او x=2n ، چې n د طبیعي اعدادو سټ توکی دی.
ډېرۍ یا سټ دیاګرام په بڼه: دیاګرام به نشر نه شي، بخښنه دې وي.
دیاګرام هغه دۍ، چې د ډېرۍ توکي پ کرښو یا کږو( کږو کرښو) کې رابند شي، چې ګومان کوم کښل به یې ستونځمن نه وي.

تشډيرۍ: ډيرۍ، چې کوم توکى ونه لري تشډيرۍ يا خالي سټ بلل کيږي او داسى يې ليکو: {}
د تشډېرۍ نورډولونه کیدی شي زما کتابونو کې وکتل شي.
دا دې د يوې ډيرۍ یا سټ سره، چې يواځى له صفر څخه جوړه ده، نه بدليږي يانې
{} |= {0}

بيلګه ٢ ۰ ٤
{x|x€Z;x²+x-(3/4) = 0} = {}
ځکه، چې د برابرون يا مساوات x²+x-3/4 = 0 حلډيرۍ
{x|x²+x-(3/4 )= 0 } = { 1 / 2 , -3/2}
کوم ټولګڼ یا تام عدد خوندي نه لري۰

د ټولګڼونو پيژند ته دې پام وي، چې د راشنلګڼونو برخډيرۍ ده۰ د ريمه برخه دې وکتل شي۰

بيلګه ٢ ۰ ٥ : د ز۰ کال د دويمې نيمايې میاشتو سټ یا ډيرۍ په Ju , aug sep , ok,no, de سره ښايو او ليکو: A= { jul,aug,sep.ok,no,de}
نو داسې لرو يا نوره هم ښه داسى ليکلى شو:
jul€A; jun €/A
دا په دې مانا، چې جولاى د A توکى دى او جون د A توکى نه دۍ

بيلګه : ټول منديزي، چې نن مازيګر لمانځه ته د غارخلي لمنځتون یا جماعت ته ته راغلي۰

بيلګه : د هغو ميږو ، غواوو او وزو ډېرئ، چې نن په نخاس کې خرڅې شوې.

پای او ناپای ډېرۍ:
( که غواړۍ، متناهي او لامتناهي سټونه، خو نه معین او نامعین سټونه):
بيلګه : د ټولو هغؤ ګڼونو ډيرۍ(عددونو سټ) M، چې ٣٠ ويشي یا د ۳۰ پروېشونې دي يانې
١ ، ٢ ، ٣ ، ٥ ، ٦ ، ١٠ ، ١٥ ، ٣٠
داسې يې ليکو : M = { 1,2,3,5,6,10,15,30}
دا سټ پاي سټ ده داسې وايو، چې ډيرۍ یا سټ M د ټولو هغو توکوx - لکه پورته - جوړ شوې، چې د ٣٠ پرويشوني دي او داسې يې ليکو:
} داسې چې x د ٣٠ پرويشونى ګڼ M ={ x |

د ټولو پيدايښتې يا طبيعي ګڼوڼو ډيرۍ(اعدادو سټ) N ټاکو او داسې يې ليکو:
N = { 1,2,3,4….}
دا نه پاى لرونکى یا ناپای يا لايتناهي ډيرۍ( سټ) ده ، چې په لاندې ډول يې نخښه ده يا په لاندې ډول په نخښه کيږي:
ګورو، چې په شميرپوهنه کى موږ پر پاى ګڼونو برسيره ناپاى عددونو سره هم مخامخ يو۰ ټول طبیعي عددونه د ګڼلوړ شمیرنې وړ دي. ناپای په دې مانا، چې ګڼل یې پای ته نه رسیږي.

د ډيريو په منځ کې اړيکې relation between sets

د برابروالي اړیکې: د سټونو په منځ کې غوره اړيکى د برابروالى او خونديونې يا خوندي لرنې ( مساويوالى او يو په بل کې ځاي لرلو) اړيکې دي۰

پيژند ٢ ۰ ٢ دوه ډيري یا سټونه M اوN يو د بل سره برابرې دي، يانې M=N
که چيرې د ډيرۍ یا سټM هر توکى د ډيرۍ یا سټ N توکى هم وي او پر څټ یا برعکس هر دN توکی د M توکى هم وي۰

برابرې ډيرۍ برابر توکي هم لري

د بيلګى په توګه
M={x| (x+1)(x-2)(x+3)=0}
N={-1,2,-3}
M=N
ګورو، چې M د N سره برابر دئ

برخډيرۍ(سبسټ subset )

پيژند ٢ ۰ ٣ :
يوه سټ M د سټ یا ډېرۍ N برخډيرۍ ( لاندې ډيرۍ، خوندي ډيرۍ یا سب
سټ ) بلل کيږي يا M په Nکې ځاى ده يا نوره هم ښهM په N کې خوندي
ده یا برخه ده,، ليکندود يا ليکنډول:
MBN (موږ برخه ده د... نه شو لیکلی، د دې په ځای موB لیکلي. کتاب کې شته) که د ډيرۍ M هر توکى دسټ یا ډېرۍ N توکى هم وي۰

کيدى شي، چې M دN ډسره برابر هم وي، که برابروالی یا مساوات نا شوني وي نو بيا د اصلي برخډيرۍ یا اصلي سب سټ څخه غږيږو۰

پيژند ٢ ۰ ٤ :
يوه ډيرۍ یا سټ M د N اصلي برخډيرۍ یا سبسټ ده او داسې يې ليکو: MBN
که MBN باور ولري او کم له کمه د N يو توکى د M توکى نه وي۰

بيلګې:
د ټولو څلوريو ( مربعو) ډيرۍ د ټولوڅلورګوډيو( څلور اضلاعو) اصلي برخډيرۍ ده۰
تشډيرۍ په هره ډيرۍ کې خوندي ده۰ هره ډيرۍ په خپل ځان کې د نااصلي برخډيرۍ په څير خوندي ده۰


پيژند ٢ ۰ ٥ :
هغه ډيرۍ، چې هيڅ توکى ونه لري تشډيرۍ بلل کيږي او داسې يى ليکو: M={}
يادونه : پام دې وي، چې صفر ډيرۍ او تشډيرۍ سره بدلې نه شي يانې لاندې ته دې پام وي: {0}=|{}


د یوې ډېرۍ توان یا توانډېرۍ ( توانسټ)

پيژند ٢ ۰ ٦ :
د يوې ډيرۍ M د ټولو برخډيريو ډيرۍ پوتنڅډيرۍ يا په توانډيرۍ(-سټ) بلل
کيږي او داسې يې ليکو: P(M) په توانډيرۍ توکي لري، چى هر يو يى بيا خپله
ډيرۍ ده۰

بيلګه : د M = { a,b.c} ډيرۍ دا لاندې په توانډيرۍ لري
P(M) = { {a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}

هره ډيرۍ چې د n توکو څخه جوړه وي هغه ټيک 2 جګ n یا دوه په توان د n توکى لري يانى :
دا پورته د جملې په څير د پوره ايندکشن له لارې اوبى ( حل-) کيدى شي( لومړۍ برخه دې وکتل شي)۰ دا دنده د ګرانو لوستونکو د خوښې کار دۍ، که کوي يي۰

پيژند ٢ ۰ ٧ : د ډيرۍ M زور |M| لاندې د ډيرۍ د توکو تعداد یاګڼون پوهيږو۰ که دوه ډيرۍM اوN همغه زور ولري هغه ته يوزوريزه – يا برابرزوريزې ډيرۍ وايو او داسې يې ليکو: |M| = |N|

که د دې لاندې عنوان برخ د ګرانو ځوانو لوستونکو لپاره ستونځمنه وي، نو ترې تیریدی شي.

د برابرونونو یا مساواتو او خوندې ساتنو خويونه

الف ) رفلکسيو - يا د انعکاس( هندارونیزې) اړيکې reflexivity
هغه اړيکې، چې د هغه او د هغه دخپل ځان ترمنځ ريښتونې ويناوې ورکړ شوي وي رفليکسيویا انعکاسي یا هندارونیزې اړيکي بلل کيږي لکه: M=M; M B M
خوندي لرل اړيکې رفلکسيو نه دي M B/ M
دا په دې مانا، چې هيڅ ډيرۍ د خپل ځان اصلي برخډيرۍ یا برخسټ نه شي کيدۍ۰

ب) سيومتريکې اړيکې Symetric relation
هغه اړيکې سيومتريک بلل کيږي، چې د شيانو ترمنځ چې کارول کيږي يا استعماليږي يو له بل سره بدليدلى شي۰

لکه M = N  N = M
خوندي لرل سيومتريکې اړيکې نه دي:
که وي M B N نو اړيکى N B M نارښتيا يا ناټيک دي
دا هلته چې وي: M=/N

پ ) ترانزيتيويتيTransitivity یا وړون اړيکې

ترانزيتيويتي هغه اړيکې دي، چې له يوه نه وبل ته يي د وړلو امکان شته يا موجود وي۰

له L = M او M = N څخه لاس ته راځي L = N
او
LBM and MBN => LBN
پورته داسې لولو: که L د M برخډيرۍ او M د N برخډيرۍ وي، نوله دې څخه لاس ته راځى، چې L د N برخډيرۍ ده

برابرونونه یا مساوات او په بل کې ځايه ونه يا خوندي ساتنه ترانزيتيو اړيکې يا خويونه دي
زما پته: smakhan1946@gmail.com